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ÁLGEBRA 27 (EXACTAS) CBC
CÁTEDRA ÚNICA
✨ Parcial B (1°C 2025)
Ejercicio 1:

Sean $L_1: X = \lambda(1,0,0) + (0,-3,-1)$ y $L_2: X = \lambda(0,1,2) + (3,1,0)$ y $\Pi: x_1 - 2x_2 + 2x_3 = -6$

Hallar una recta $L$ tal que $L \cap L_1 \neq \emptyset$, $L \cap L_2 \neq \emptyset$ y $d(P,\Pi) = 1$ para todo $P \in L$

Ejercicio 2:

Sean $S_1$ y $S_2$ los sistemas lineales


$S_1 = \left\{ \begin{matrix} ax_1 + 2x_2 = 2 \\ x_2 - x_3 = 1 \\ x_1 - x_2 + ax_3 = -1 \end{matrix} \right. \quad \text{y} \quad S_2 = \left\{ \begin{matrix} x_1 + bx_2 - 6x_3 = 4 \\ x_2 - x_3 = 1 \end{matrix} \right.$

Hallar todos los $a,b \in \mathbb{R}$ para los cuales $S_1$ y $S_2$ tienen el mismo conjunto de soluciones.

Ejercicio 3:

Sean $\mathbb{S} = \langle (1,-1,0,-1);(0,1,2,1) \rangle$, $\mathbb{T} = \{ x \in \mathbb{R}^4 | -x_1 + x_2 + x_4 = 0; x_1 + 2x_3 - 3x_4 = 0 \}$ y $\mathbb{H} = \{ x \in \mathbb{R}^4 | 2x_1 - x_2 + x_3 - 3x_4 = 0 \}$


Hallar, si es posible, dos subespacios $\mathbb{W}_1$ y $\mathbb{W}_2$ de $\mathbb{R}^4$ tales que $\mathbb{W}_1 \subseteq \mathbb{S}$, $\mathbb{W}_1 \neq \emptyset$, $\mathbb{W}_2 \cap \mathbb{T} \neq \{ 0 \}$ y $\mathbb{W}_1 \oplus \mathbb{W}_2 = \mathbb{H}$.

Ejercicio 4:

Hallar, si es posible, $\textbf{v}$ y $\textbf{w}$ en $\mathbb{R}^3$ tales que $B = \{ (-1,2,1), \textbf{w}, (0,0,1) \}$ sea una base de $\mathbb{R}^3$, las coordenadas de $\textbf{v} - (0,1,0)$ en la base $B$ sean $(0,-5,1)$ y las coordenadas de $\textbf{v} + (1,0,0)$ en la base $B$ sean $(2,-2,-1)$


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